Runge-Kutta de tercer y cuarto orden

Tercer Orden

donde f(xi, yi, h) se conoce como función incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo. La función incremento se escribe en forma general como

                                         

f = a1k1 + a2k2 + · · · + ankn      

      donde las a son constantes y las k son

        k1 = ƒ(xi, yi)

        k2 = ƒ(xi+ p1h, yi + q11k1h)

        k3 = ƒ(xi+ p2h, yi + q21k1h + q22k2h)

   kn = ƒ(xi + pn–1h, yi+ qn–1,1k1h + qn–1,2k2h +···+ qn–1,n–1kn–1h)

Cuarto Orden

Si ahora m = 4, se obtiene, con un desarrollo del tipo del anterior, la siguiente fórmula, para i desde 0 hasta N-1:

Si bien con facilidad se pueden deducir otras fórmulas, el algoritmo expresado en (16) se denomina método de Runge-Kutta de cuarto orden, o método clásico de Runge-Kutta, abreviado como RK4. Este algoritmo es de uso extendido, y reconocido como una valiosa herramienta de cálculo, por la buena aproximación que produce.

Esta fórmula tiene un error de truncamiento local de O(h⁵), y un error global de O(h⁴).  De nuevo, el precio que se debe pagar por la mejora en el error, es una mayor cantidad de evaluaciones de la función, resultando en un mayor tiempo de cálculo si la función es complicada. Tiene la ventaja, sobre el método de Taylor de orden 4 (cuyo error global es también O(h⁴), que no requiere el cálculo de las derivadas de f.